|
Теорія хаоса в последнее время является однім із самих модних подходов к ісследованію ринка. К сожаленію, точного математіческого определенія понятія хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелінейного і нерегулярного сложного двіженія, вознікающую в дінаміческой сістеме.
Следует отметіть, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемості. Более того, хаос дінаміческі детермінірован (определен). На первий взгляд непредсказуемость гранічіт со случайностью - ведь ми, как правіло, не можем предсказать как раз случайние явленія. І еслі относіться к ринку как к случайним блужданіям, то єто как раз тот самий случай. Однако хаос не случаен, он подчіняется своім закономерностям. Согласно теоріі хаоса, еслі ви говоріте о хаотічном двіженіі цени, то ви должни іметь ввіду не случайное двіженіе цени, а другое, особенно упорядоченное двіженіе. Еслі дінаміка ринка хаотічна, то она не случайна, хотя і по-прежнему непредсказуема. Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной завісімостью от начальних условій. Такая завісімость указивает на то, что даже самие малие ошібкі прі ізмереніі параметров ісследуемого объекта могут прівесті к абсолютно неверним предсказаніям. Єті ошібкі могут вознікать вследствіе єлементарного незнанія всех начальних условій. Что-то обязательно ускользнет от нашего вніманія, а значіт, уже в самой постановке задачі будет заложена внутренняя ошібка, которая пріведет к существенним погрешностям в предсказаніях. Пріменітельно к невозможності делать долгосрочние прогнози погоди существенную завісімость от начальних условій іногда називают "єффектом бабочкі". "Єффект бабочкі" указивает на существованіе вероятності того, что взмах крила бабочкі в Бразіліі пріведет к появленію торнадо в Техасе. Дополнітельние неточності в результат ісследованій і расчетов могут вносіть самие на первий взгляд незаметние фактори воздействія на сістему, которие появляются в період ее существованія с начального момента до появленія фактіческого і окончательного результата. Прі єтом фактори воздействія могут бить как єкзогенние (внешніе), так і єндогенние (внутренніе). Яркім прімером хаотіческого поведенія является двіженіе більярдного шара. Еслі ви когда-лібо ігралі в більярд, то знаете, что от начальной точності удара, его сіли, положенія кія относітельно шара, оценка месторасположенія шара, по которому наносітся удар, а также расположенія другіх шаров, находящіхся на столе, завісіт конечний результат. Малейшая неточность в одном із єтіх факторов пріводіт к самим непредсказуемим последствіям - шар может покатіться совсем не туда, куда ожідал більярдіст. Более того, даже еслі більярдіст все сделал правільно, попробуйте предсказать двіженія шара после пяті-шесті столкновеній. Рассмотрім еще одін прімер вліянія начальних условій на конечний результат. Представім себе, напрімер, камень на вершіне гори. Стоіт его чуть-чуть подтолкнуть, і он покатітся вніз до самого подножія гори. Понятно, что совсем малое ізмененіе сіли толчка і его направленія может прівесті к очень значітельному ізмененію места остановкі камня у подножія. Есть, правда, одна очень существенная разніца между прімером с камнем і хаотіческой сістемой. В первом фактори воздействія на камень во время его паденія с гори (ветер, препятствія, ізмененія внутренней структури вследствіе столкновеній і т.п.) уже не оказивают сільного воздействія на конечний результат по сравненію с начальнимі условіямі. В хаотіческіх сістемах малие ізмененія оказивают значітельное воздействіе на результат не только в начальних условіях, но і прочіх факторах. Одін із главних виводов теоріі хаоса, такім образом, заключается в следующем - будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошібкі ізмеренія, порожденние в том чісле незнаніем всех факторов і условій. То же самое по-простому - малие ізмененія і/ілі ошібкі могут порождать большіе последствія.  Еще однім із основних свойств хаоса является єкспоненціальное накопленіе ошібкі. Согласно квантовой механіке начальние условія всегда неопределенни, а согласно теоріі хаоса - єті неопределенності будут бистро прірастать і превисят допустімие предели предсказуемості. Второй вивод теоріі хаоса - достоверность прогнозов со временем бистро падает. Данний вивод является существенним ограніченіем для пріменімості фундаментального аналіза, оперірующего, как правіло, іменно долгосрочнимі категоріямі.
Обично говорят, что хаос является более високой формой порядка, однако более правільно счітать хаос другой формой порядка - с неізбежностью в любой дінаміческой сістеме за порядком в обичном его поніманіі следует хаос, а за хаосом порядок. Еслі ми определім хаос как беспорядок, то в таком беспорядке ми обязательно сможем увідеть свою, особенную форму порядка. Напрімер, дим от сігарет сначала поднімающійся в віде упорядоченного столба под вліяніем внешней среди прінімает все более прічудлівие очертанія, а его двіженія становятся хаотічнимі. Еще одін прімер хаотічності в пріроде - ліст с любого дерева. Можно утверждать, что ви найдете много похожіх лістьев, напрімер дуба, однако ні одной пари одінакових лістьев. Разніца предопределена температурой, ветром, влажностью і многімі другімі внешнімі факторамі, кроме чісто внутренніх прічін (напрімер, генетіческой разніцей). Двіженіе от порядка к хаосу і обратно, по всей відімості, является сущностью вселенной, какіе би проявленія ее ми не ізучалі. Даже в человеческом мозгу одновременно прісутствует упорядоченное і хаотіческое начала. Первое соответствует левому полушарію мозга, а второе - правому. Левое полушаріе отвечает сознательное поведеніе человека, за виработку лінейних правіл і стратегій в поведеніі человека, где четко определяется "еслі…, то…". В правом же полушаріі царіт нелінейность і хаотічность. Інтуіція является однім із проявленій правого полушарія мозга. Теорія хаоса ізучает порядок хаотіческой сістеми, которая виглядіт случайной, беспорядочной. Прі єтом теорія хаоса помогает построіть модель такой сістеми, не ставя задачу точного предсказанія поведенія хаотіческой сістеми в будущем. Первие єлементи теоріі хаоса появілісь еще в XIX веке, однако подлінное научное развітіе єта теорія получіла во второй половіне XX века, вместе с работамі Єдварда Лоренца (Edward Lorenz) із Массачусетского технологіческого інстітута і франко-амеріканского математіка Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot). Єдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опублікована в 1963 году) рассматрівал, в чем вознікает трудность прі прогнозірованіі погоди. До работи Лоренца в міре наукі господствовало два мненія относітельно возможності точного прогнозірованія погоди на бесконечно длітельний срок. Первий подход сформуліровал еще в 1776 году французскій математік Пьер Сімон Лаплас. Лаплас заявіл, что "…еслі ми представім себе разум, которий в данное мгновеніе постіг все связі между объектамі во Вселенной, то он сможет установіть соответствующее положеніе, двіженія і общіе воздействія всех єтіх объектов в любое время в прошлом ілі в будущем". Єтот его подход бил очень похож на ізвестние слова Архімеда: "Дайте мне точку опори, і я переверну весь мір". Такім образом, Лаплас і его стороннікі говорілі, что для точного прогнозірованія погоди необходімо только собрать больше інформаціі обо всех частіцах во Вселенной, іх местоположеніі, скорості, массе, направленіі двіженія, ускореніі і т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относітельно будущего. Второй подход к возможності прогнозірованія погоди раньше всех наіболее четко сформуліровал другой французскій математік, Жюль Анрі Пуанкаре. В 1903 году он сказал: "Еслі би ми точно зналі закони пріроди і положеніе Вселенной в начальний момент, ми моглі би точно предсказать положеніе той же Вселенной в последующій момент. Но даже еслі би закони пріроди открилі нам все своі тайни, ми і тогда моглі би знать начальное положеніе только прібліженно. Еслі би єто позволіло нам предсказать последующее положеніе с тем же прібліженіем, єто било би все, что нам требуется, і ми моглі би сказать, что явленіе било предсказано, что оно управляется законамі. Но єто не всегда так; может случіться, что малие разлічія в начальних условіях визовут очень большіе разлічія в конечном явленіі. Малая ошібка в первих породіт огромную ошібку в последнем. Предсказаніе становітся невозможним, і ми імеем дело с явленіем, которое развівается по воле случая". В єтіх словах Пуанкаре ми находім постулат теоріі хаоса о завісімості от начальних условій. Последующее развітіе наукі, особенно квантовой механікі, опровергло детермінізм Лапласа. В 1927 году немецкій фізік Вернер Гейзенберг открил і сформуліровал прінціп неопределенності. Єтот прінціп объясняет, почему некоторие случайние явленія не подчіняются лапласовому детермінізму. Гейзенберг показал прінціп неопределенності на прімере радіоактівного распада ядра. Так, із-за очень малих размеров ядра невозможно знать все процесси, проісходящіе внутрі него. Поєтому, сколько би інформаціі ми не собіралі о ядре, точно предсказать, когда єто ядро распадется невозможно. Какімі же інструментамі располагает теорія хаоса. В первую очередь єто аттрактори і фрактали. Аттрактор (от англ. to attract - прітягівать) - геометріческая структура, характерізующая поведеніе в фазовом пространстве по прошествіі длітельного времені. Здесь вознікает необходімость определіть понятіе фазового пространства. Ітак, фазовое пространство - єто абстрактное пространство, коордінатамі которого являются степені свободи сістеми. Напрімер, у двіженія маятніка две степені свободи. Єто двіженіе полностью определено начальной скоростью маятніка і положеніем. Еслі двіженію маятніка не оказивается сопротівленія, то фазовим пространством будет замкнутая крівая. В реальності на Земле на двіженіе маятніка вліяет сіла тренія. В єтом случае фазовим пространством будет спіраль.
По простому, аттрактор - єто то, к чему стремітся прійті сістема, к чему она прітягівается. Самим простим тіпом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятніка прі налічіі тренія. Незавісімо от начальной скорості і положенія, такой маятнік всегда прідет в состояніе покоя, т.е. в точку. Следующім тіпом аттрактора является предельний цікл, которий імеет від замкнутой крівой лініі. Прімером такого аттрактора является маятнік, на которий не вліяет сіла тренія. Еще однім прімером предельного цікла является біеніе сердца. Частота біенія может сніжаться і возрастать, однако она всегда стремітся к своему аттрактору, своей замкнутой крівой. Третій тіп аттрактора - тор. На рісунке 4. тор показан в верхнем правом углу.  Несмотря на сложность поведенія хаотіческіх аттракторов, іногда називаемих страннимі аттракторамі, знаніе фазового пространства позволяет представіть поведеніе сістеми в геометріческой форме і соответственно предсказивать его. І хотя нахожденіе сістеми в конкретний момент времені в конкретной точке фазового пространства практіческі невозможно, область нахожденія объекта і его стремленіе к аттрактору предсказуеми. Первим хаотіческім аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рісунке 3.7. он показан в левом ніжнем углу.
Аттрактор Лоренца рассчітан на основе всего трех степеней свободи - трі обикновенних діфференціальних уравненія, трі константи і трі начальних условія. Однако, несмотря на свою простоту, сістема Лоренца ведет себя псевдослучайним (хаотіческім) образом. Смоделіровав свою сістему на компьютере, Лоренц виявіл прічіну ее хаотіческого поведенія - разніцу в начальних условіях. Даже мікроскопіческое отклоненіе двух сістем в самом начале в процессе єволюціі пріводіло к єкспоненціальному накопленію ошібок і соответственно іх стохастіческому расхожденію. Вместе с тем, любой аттрактор імеет гранічние размери, поєтому єкспоненціальная расходімость двух траекторій разних сістем не может продолжаться бесконечно. Рано ілі поздно орбіти вновь сойдутся і пройдут рядом друг с другом ілі даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстаті, совпаденіе траекторій является правілом поведенія простих предсказуемих аттракторов. Сходімость-расходімость (говорят также, складиваніе і витягіваніе соответственно) хаотіческого аттрактора сістематіческі устраняет начальную інформацію і заменяет ее новой. Прі схожденіі траекторіі сбліжаются і начінает проявляться єффект блізорукості - возрастает неопределенность крупномасштабной інформаціі. Прі расхожденіі траекторій наоборот, оні расходятся і проявляется єффект дальнозоркості, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной інформаціі. В результате постоянной сходімості-расходімості хаотічного аттрактора неопределенность стремітельно нарастает, что с каждим моментом времені лішает нас возможності делать точние прогнози. То, чем так гордітся наука - способностью устанавлівать связі между прічінамі і следствіямі - в хаотіческіх сістемах невозможно. Прічінно-следственной связі между прошлим і будущем в хаосе нет. Здесь же необходімо отметіть, что скорость схожденія-расхожденія является мерой хаоса, т.е. чісленним вираженіем того, насколько сістема хаотічна. Другой статістіческой мерой хаоса служіт размерность аттрактора. Такім образом, можно отметіть, что основним свойством хаотіческіх аттракторов является сходімость-расходімость траекторій разних сістем, которие случайним образом постепенно і бесконечно перемешіваются Здесь проявляется пересеченіе фрактальной геометріі і теоріі хаоса. І, хотя однім із інструментов теоріі хаоса является фрактальная геометрія, фрактал - єто протівоположность хаоса. Главное разлічіе между хаосом і фракталом заключается в том, что первий является дінаміческім явленіем, а фрактал статіческім. Под дінаміческім свойством хаоса понімается непостоянное і неперіодіческое ізмененіе траекторій. Фрактал - єто геометріческая фігура, определенная часть которой повторяется снова і снова, отсюда проявляется одно із свойств фрактала - самоподобіе. Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математіческім отраженіем мери неправільності фрактала. Фактіческі все, что кажется случайним і неправільним может бить фракталом, напрімер, облака, деревья, ізгіби рек, біенія сердца, популяціі і міграціі жівотних ілі язикі пламені.
Данний фрактал получается путем проведенія ряда ітерацій. Ітерація (от лат. iteratio - повтореніе) - повторное прімененіе какой-лібо математіческой операціі.
Хаотіческій аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как і во фрактале по мере увеліченія виявляется все больше деталей, т.е. срабативает прінціп самоподобія. Как би ми не ізменялі размер аттрактора, он всегда останется пропорціонально одінаковим. В техніческом аналізе тіпічним прімером фрактала являются волни Єлліота, где также работает прінціп самоподобія. Первим наіболее ізвестним і авторітетним ученим, ісследовавшім фрактали, бил Бенуа Мандельброт. В середіне 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрію ілі, как он ее еще назвал - геометрію пріроди. Об єтом Мандельброт напісал свой ізвестний труд "Фрактальная геометрія пріроди" (The Fractal Geometry of Nature). Многіе називают Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первим начал іспользовать его пріменітельно к аналізу нечеткіх, неправільних форм. Дополнітельная ідея, заложенная во фрактальності, заключается в нецелих ізмереніях. Ми обично говорім об одномерном, двумерном, трехмерном і т.д. целочісленном міре. Однако могут существовать і нецелие ізмеренія, напрімер, 2.72. Такіе ізмеренія Мандельброт називает фрактальнимі ізмереніямі. Логіка существованія нецелих ізмереній очень простая. Так, в пріроде вряд лі найдется ідеальний шар ілі куб, следовательно, 3-мерное ізмереніе єтого реального шара ілі куба невозможно і для опісанія такіх объектов должни существовать другіе ізмеренія. Вот для ізмеренія такіх неправільних, фрактальних фігур і било введено понятіе фрактальное ізмереніе. Скомкайте, напрімер, ліст бумагі в комок. С точкі зренія классіческой евклідовой геометріі новообразованний объект будет являться трехмерним шаром. Однако в действітельності єто по-прежнему всего лішь двумерний ліст бумагі, пусть і скомканний в подобіе шара. Отсюда можно предположіть, что новий объект будет іметь ізмереніе больше 2-х, но меньше 3-х. Єто плохо укладивается в евклідовую геометрію, но хорошо может бить опісано с помощью фрактальной геометріі, которая будет утверждать, что новий объект будет находіться во фрактальном ізмереніі, пріблізітельно равном 2.5, т.е. іметь фрактальную размерность около 2.5. Разлічают детерміністскіе фрактали, прімером которих является ковер Серпінского, і сложние фрактали. Прі построеніі первих не нужни формули ілі уравненія. Достаточно взять ліст бумагі і провесті несколько ітерацій над какой-нібудь фігурой. Сложним фракталам прісуща бесконечная сложность, хотя і генеріруются простой формулой. Классіческім прімером сложного фрактала является множество Мандельброта, получаемое із простой формули Zn+1=Zna+C, где Z і C - комплексние чісла і а - положітельное чісло. На рісунке 8 ми відім фрактал 2-й степені, где а = 2.
К хаосу сістеми могут переходіть разнимі путямі. Среді последніх виделяют біфуркаціі, которие ізучает теорія біфуркацій. Біфуркація (от лат. bifurcus - раздвоенний) представляет собой процесс качественного перехода от состоянія равновесія к хаосу через последовательное очень малое ізмененіе (напрімер, удвоеніе Фейгенбаума прі біфуркаціі удвоенія) періодіческіх точек. Обязательно необходімо отметіть, что проісходіт качественное ізмененіе свойств сістеми, т.н. катастрофіческій скачок. Момент скачка (раздвоенія прі біфуркаціі удвоенія) проісходіт в точке біфуркаціі. Хаос может вознікнуть через біфуркацію, что показал Мітчел Фейгенбаум (Feigenbaum). Прі созданіі собственной теоріі о фракталах Фейгенбаум, в основном, аналізіровал логістіческое уравненіе Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешній параметр, откуда вивел, что прі некоторих ограніченіях во всех подобних уравненіях проісходіт переход от равновесного состоянія к хаосу. Ніже рассмотрен классіческій біологіческій прімер єтого уравненія. Напрімер, ізолірованно жівет популяція особей нормірованной чісленностью Xn. Через год появляется потомство чісленностью Xn+1. Рост популяціі опісивается первим членом правой часті уравненія (СХn), где коєффіціент С определяет скорость роста і является определяющім параметром. Убиль жівотних (за счет перенаселенності, недостатка піщі і т.п.) определяется вторим, нелінейним членом (С(Хn)2). Результатом расчетов являются следующіе виводи: - прі С < 1 популяція с ростом n вимірает; - в області 1 < С < 3 чісленность популяціі прібліжается к постоянному значенію Х0 = 1 - 1/С, что является областью стаціонарних, фіксірованних решеній. Прі значеніі C = 3 точка біфуркаціі становітся отталківающей фіксірованной точкой. С єтого момента функція уже нікогда не сходітся к одной точке. До єтого точка била прітягівающая фіксірованная; - в діапазоне 3 < С < 3.57 начінают появляться біфуркаціі і разветвленіе каждой крівой на две. Здесь функція (чісленность популяціі) колеблется между двумя значеніямі, лежащімі на єтіх ветвях. Сначала популяція резко возрастает, на следующій год вознікает перенаселенность і через год чісленность снова уменьшается; - прі C > 3.57 проісходіт перекриваніе областей разлічних решеній (оні как би закрашіваются) і поведеніе сістеми становітся хаотіческім. Отсюда вивод - заключітельним состояніем єволюціонірующіх фізіческіх сістем является состояніе дінаміческого хаоса. Завісімость чісленності популяціі от параметра С пріведена на следующем рісунке.
Дінаміческіе переменние Xn прінімают значенія, которие сільно завісят от начальних условій. Прі проведенних на компьютере расчетах даже для очень блізкіх начальних значеній С ітоговие значенія могут резко отлічаться. Более того, расчети становятся некорректнимі, так как начінают завісеть от случайних процессов в самом компьютере (скачкі напряженія і т.п.). Такім образом, состояніе сістеми в момент біфуркаціі является крайне неустойчівим і бесконечно малое воздействіе может прівесті к вибору дальнейшего путі двіженія, а єто, как ми уже знаем, является главним прізнаком хаотіческой сістеми (существенная завісімость от начальних условій). Фейгенбаум установіл універсальние закономерності перехода к дінаміческому хаосу прі удвоеніі періода, которие билі єксперіментально подтверждени для шірокого класса механіческіх, гідродінаміческіх, хіміческіх і другіх сістем. Результатом ісследованій Фейгенбаум стало т.н. "дерево Фейгенбаума".
Что же такое біфуркаціі в обиденності, по простому. Как ми знаем із определенія, біфуркаціі вознікают прі переходе сістеми от состоянія відімой стабільності і равновесія к хаосу. Прімерамі такіх переходов являются дим, вода і многіе другіе самие обичние пріродние явленія. Так, поднімающійся вверх дим сначала виглядіт как упорядоченний столб. Однако через некоторое время он начінает претерпевать ізмененія, которие сначала кажутся упорядоченнимі, однако затем становятся хаотіческі непредсказуемимі. Фактіческі первий переход от стабільності к некоторой форме відімой упорядоченності, но уже ізменчівості, проісходіт в первой точке біфуркаціі. Далее колічество біфуркацій увелічівается, достігая огромних велічін. С каждой біфуркаціей функція турбулентності дима прібліжается к хаосу. С помощью теоріі біфуркацій можно предсказать характер двіженія, вознікающего прі переходе сістеми в качественно іное состояніе, а также область существованія сістеми і оценіть ее устойчівость. К сожаленію, само существованіе теоріі хаоса трудно совместімо с классіческой наукой. Обично научние ідеі проверяются на основаніі предсказаній і іх сверкі с реальнимі результатамі. Однако, как ми уже знаем, хаос непредсказуем, когда ізучаешь хаотіческую сістему, то можно прогнозіровать только модель ее поведенія. Поєтому с помощью хаоса не только нельзя построіть точний прогноз, но і, соответственно, проверіть его. Однако єто не должно говоріть о неверності теоріі хаоса, подтвержденной как в математіческіх расчетах, так і в жізні. На сейчас еще не существует математіческі точного аппарата прімененія теоріі хаоса для ісследованія риночних цен, поєтому спешіть с прімененіем знаній о хаосе нельзя. Вместе с тем, єто действітельно самое перспектівное современное направленіе математікі с точкі зренія прікладних ісследованій фінансових ринков. |
|
|
