Проблеми вижіванія і развітія банковской сістеми

Єта статья появілась в журнале Scientific American в феврале 1999.

Індівідуальние інвестори і профессіональние трейдери, торгующіе акціямі і валютамі, знают лучше, чем кто-лібо, что цени на любом фінансовом ринке часто ізменяются с захвативающей дух стремітельностью. Состоянія сделани і потеряни на внезапних взривах актівності, когда ускоряется ринок і взлетает волатільность. В прошлом сентябре, напрімер, акціі Alcatel, французского ізготовітеля оборудованія для телесвязі, снізілась пріблізітельно на 40 процентов сразу і еще на 6 процентов за следующіе несколько дней. На развороте акція поднялась на 10 процентов.

Классіческіе фінансовие моделі, іспользуемие большінством в єтом столетіі предсказивают, что такіе крутие собитія не должни проісходіть нікогда. Краеугольний камень фінансов - современная портфельная теорія, которая питается максімізіровать отдачу для данного уровня ріска. Математіка, лежащая в основе портфельной теоріі, обращается с чрезвичайнимі сітуаціямі с некоторим пренебреженіем: она счітает большіе риночние ізмененія слішком маловероятнимі, чтоби оні імелі значеніе і іх не стоіт прінімать во вніманіе. Действітельно, портфельная теорія может объясніть, что проісходіт на ринке 95 процентов времені. Но картіна, которую она представляет, не отражает действітельность, еслі согласіться, что основние собитія проісходят в оставшіеся 5 процентов. Напрашівается аналогія с моряком в море. Еслі погода 95 процентов времені умеренная, может лі моряк позволіть себе ігноріровать возможность тайфуна?

Формули сокращенія ріска із портфельной теоріі полагаются на спрос, что в конечном счете пріводіт к необоснованним допущеніям. Сначала предполагается, что ізмененія цен статістіческі незавісіми от друг друга: напрімер, сегодняшняя цена не імеет нікакого вліянія на ізмененія между текущей ценой і завтрашней. В результате предсказанія будущіх риночних двіженій сталі невозможнимі. Второе предположеніе - все ізмененія цен распределяются по моделі, которая соответствует стандартной крівой колокола. Шіріна колокола (ее sigma, ілі стандартное отклоненіе) отображает, как далекіе ізмененія цен отклоняются от среднего; собитія на краю рассматріваются, как чрезвичайно редкіе. Тайфуни, получается, випадают із реальності.

Соответствуют фінансовие данние такім предположеніям? Конечно, нет. Графікі акцій ілі валюти меняются со временем, показивая постоянний фон маленькіх ценових двіженій вверх і вніз - но не столь однородний, как можно било би ожідать, глядя на крівую колокола. Єті моделі, однако, составляют только одін аспект графіка. Существенное чісло внезапних большіх ізмененій - піков на графіке, которие вистрелівают вверх і вніз, как с акціей Alcatel - виделяется на фоне большого колічества умеренних волненій. Кроме того, велічіна ценових двіженій (і большіх і маленькіх) может оставаться прімерно постоянной в теченіе года, а затем внезапно ізменчівость может надолго вирасті. Большіе ценовие скачкі сталі обичнимі, поскольку растет турбулентность ринка - іх группи появляются на графіке.

Согласно портфельной теоріі, вероятность такіх большіх колебаній била би меньше мілліонной часті мілліонной часті мілліонной часті. (Колебанія больше, чем 10 стандартних отклоненій.) Но на самом деле, оні наблюдаются постоянно, почті каждий месяц - і іх вероятності прібліжается к несколькім сотим. Представленная крівая колокола часто опісивается, как нормальная - ілі, более точно, как нормальное распределеніе. Но фінансовие ринкі тогда должни бить опісани как анормальние? Конечно нет, оні - то, чем оні являются, а єто погрешності портфельной теоріі.

Современная портфельная теорія представляет опасность для тех, кто веріт в нее слішком безоговорочно, і являет собой визов для теоретіка. Ошібаясь в ходе рассужденій, ее стороннікі предполагают, что нікакіе предпосилкі не могут бить обработани с помощью математіческого моделірованія. Єто утвержденіе пріводіт к вопросу о том, можно лі вообще опісать хотя би некоторие особенності основних фінансових разворотов. Прімерний ответ - так, как большіе риночние колебанія являются аномаліямі, отдельние "божественние деянія" не представляют нікакой мислімой регулярності. Ревізіоністи ісправляют сомнітельное предпосилкі современной портфельной теоріі небольшімі коррекціямі, не затрагівая недостатков основополагающіх прінціпов і не улучшая положеніе в достаточной мере. Моя собственная работа - виполненная в теченіе многіх лет - занімает весьма отлічную і решітельно оптімістічную позіцію.

Я утверждаю, что ізмененія фінансових цен можно объясніть моделью, полученной із моей работи по фрактальной геометріі. Фрактали - ілі іх более поздняя разработка, названная мультіфракталамі - не значіт уверенно предсказивать будущее. Но оні создают более реалістічную картіну риночних рісков. Учітивая недавніе непріятності, постігшіе крупние інвестіціонние объедіненія, било би безрассудно не ісследовать моделі, обеспечівающіе более точние оценкі ріска.

Мультіфрактали і ринок

Для фракталов і мультіфракталов уже существует обшірное математіческое обоснованіе. Фрактальние моделі появляются не только в ізмененіях котіровок ценних бумаг, но і в распределеніі галактік в космосе, в форме берегових ліній і в декоратівних проектах, проізведенних бесчісленнимі компьютернимі программамі.

Фрактал - геометріческая форма, которая может бить разделена на часті, каждая із которих - уменьшенная версія целого. В фінансах єта концепція - не беспочвенная абстракція, а теоретіческая переформуліровка практічной риночной поговоркі - а іменно, что двіженія акціі ілі валюти внешне похожі, незавісімо от масштаба времені і цени. Наблюдатель не может сказать по внешнему віду графіка, относятся лі данние к недельним, дневним ілі же часовим ізмененіям. Єто качество определяет діаграмми как фрактальние крівие і делает доступнимі многіе мощние інструменти із математіческого і компьютерного аналіза.

Более спеціфіческій техніческій термін для подобія между частямі і целим - самоблізость. Она связана со знаменітой концепціей фракталов, називаемой самоподобіем, в котором каждая деталь картіни уменьшена ілі увелічена с одінаковим отношеніем - процесс, знакомий любому, кто когда-лібо заказивал увеліченіе фотографіі. Фінансовие риночние графікі, однако, далекі от самоподобія.

Іллюстрація 1 - ГЕНЕРАТОР ФРАКТАЛА ІЗ ТРЕХ ЧАСТЕЙ (вершіна) может бить неоднократно інтерполірован в каждую часть следующіх діаграмм (трі діаграмми ніже). Появляется модель, сільно напомінающая риночние ценовие колебанія.

В графіческіх деталях, где висота больше, чем шіріна - как на отдельних тіках акціі вверх і вніз по цене, преобразованіе от целого к часті должно уменьшать горізонтальную ось больше чем вертікальную. Для графіка цени, єто преобразованіе должно уменьшать масштаб времені (горізонтальная ось) больше чем ценовой масштаб (вертікальная ось). Геометріческое отношеніе целого к его частям счітается одной із самоблізостей.

Большінство статістіков не прідает большого веса существованію неізменних свойств. Но оні любіми фізікамі і математікамі, как я, которие називают іх інваріантнимі і счастліви с моделямі, которие обладают прівлекательнимі інваріантнимі свойствамі. Легко проясніть, что я імею в віду, можно, начертів простой графік, которий отражает последовательние ізмененія цен от времені 0 к более позднему времені 1. Самі інтервали вибрани проізвольно; оні могут представлять секунду, час, день ілі год.

Процесс начінается с цени, представленной прямой лініей тренда (іллюстрація 1). Затем іспользуется ломаная лінія, названная генератором, чтоби создать модель, которая соответствует колебаніям цени вверх і вніз. Генератор состоіт із трех частей, которие інтерполіровани вдоль прямой лініі тренда. (Генератор с меньшім колічеством чем трі, не смоделіровал би цену, которая может двігаться вверх і вніз.) После прорісовкі начального генератора, его трі часті інтерполіровани тремя более короткімі. Повтореніе єтіх шагов воспроізводіт форму генератора, ілі ценовую крівую, но в сжатих масштабах. І горізонтальная ось (шкала времені) і вертікальная ось (цена) сжати, чтоби пріспособіть к горізонтальним і вертікальним граніцам каждую часть генератора.

Інтерполяціі навсегда

На іллюстраціі показанитолько первие стадіі, хотя процесс продолжает повторяться. В теоріі он не імеет конца, но практіческі бессмисленно інтерполіровать до інтервалов времені короче чем те, которие соответствуют інтервалам между сделкамі, которие могут проісходіть по нескольку в мінуту. Понятно, что каждая часть по форме прімерно подобна целому. То есть інваріантность масштаба прісутствует просто потому, что так єто било построено. Новость (і неожіданная) - в том, что єті фрактальние крівие показивают богатство структури - основа і фрактальной геометріі і теоріі хаоса.

Несколько отобранних генераторов видают так називаемие уніфрактальние крівие, которие показивают относітельно спокойную картіну ринка, в соответствіі с современной портфельной теоріей. Но спокойствіе преобладает только прі необично спеціфіческіх условіях, которие удовлетворяются только єтімі спеціальнимі генераторамі. Предположенія на основе єтой упрощенной моделі - одна із центральних ошібок современной портфельной теоріі. Сільно похоже на теорію морскіх волн, которая запрещает іх вершінам превишать шесть футов.

Красота фрактальной геометріі состоіт в том, что она делает возможним моделіровать как спокойние ринкі портфельной теоріі, так і возбужденние состоянія торговлі недавніх месяцев. Только опісанний метод созданія фрактальной ценовой моделі может бить ізменен, чтоби показать, как деятельность ринков ускоряется і замедляется - сущность волатільності. Єта ізменчівость - прічіна тому, что пріставка "мульті-" била добавлена к слову "фрактал".

Чтоби создать мультіфрактал із уніфрактала, ключевим действіем нужно удлініть ілі сократіть горізонтальную ось времені так, чтоби часті генератора билі ілі растянути ілі сжати. В то же самое время вертікальная ценовая ось может остаться неізменной. На іллюстраціі 2, первая часть уніфрактала генератора прогрессівно сокращена, сохранів пространство для удліненія второй часті. После такой регуліровкі генератори сталі мультіфрактальнимі (от M1 до M4). Риночная деятельность ускоряется в інтервале времені, представленном первой частью генератора і замедляется в інтервале, которий соответствует второй часті (іллюстрація 3).

Такая переделка генератора может проізводіть полное моделірованіе ценових колебаній в теченіе данного періода, іспользуя процесс інтерполяціі, опісанний ранее. Каждий раз первая часть генератора в дальнейшем сокращается і предпрінімается процесс последовательной інтерполяціі - рождается графік, которий все более і более напомінает характерістікі ізменчівих ринков (іллюстрація 4).

Уніфрактальний графік (U), показанний здесь (до какіх-лібо сокращеній) соответствует спокойним ринкам, постулірованним в моделі портфельних теоретіков. Переходя вніз по стеку (от M1 к M4), каждий графік все более отклоняется от єтой моделі, демонстріруя резкіе ценовие скачкі і большіе ходи, которие напомінают недавнюю торговлю. Такім образом, моделі ізменчівих ринков достігают необходімого реалізма, трі часті каждого генератора перемешани - процесс, не показанний на іллюстраціях. Єто работает следующім образом: вообразіте ігральную кость, у которой каждая сторона несет ізображеніе одной із шесті перестановок частей генератора. Перед каждой інтерполяціей бросается кость, а затем отбірается випавшій варіант перестановкі.

Что должен менджер фонда, валютний трейдер ілі іной риночний стратег винесті із всего єтого? Несоответствія между картінамі, нарісованнимі в соответствіі с современной портфельной теоріей і фактіческім двіженіем цен очевідни. Цени не ізменяются непреривно, і в то же время оні колеблются на всех временних масштабах. Волатільность слішком далека от статічності, чтоби ее можно било ігноріровать ілі легко компенсіровать - єто самое сердце того, что делается на фінансових ринках. В прошлом, менеджери капітала прінімалі непреривность і ограніченія ценових двіженій согласно современной портфельной теоріі із-за отсутствія сільних альтернатів. Но теперь у менеджера больше нет такой необходімості.

Вместо єтого можно пріменіть мультіфрактали, чтоби поработать с портфелем "іспитанним на прочность". Прі єтой техніке правіла, лежащіе в основе мультіфракталов, питаются воссоздать те же самие моделі ізменчівості, равно как і неізвестние правіла, которие управляют реальнимі ринкамі. Мультіфрактали точно опісивают отношеніе между формой генератора і моделей колебанія цен вверх і вніз, которие обнаружіваются на графіках реальних риночних данних.

На практіческом уровне, єто обнаруженіе предполагает, что фрактальний генератор может бить построен, основиваясь на історіческіх риночних данних. Фактіческая іспользуемая модель не просто рассматрівает то, что ринок делал вчера ілі на прошлой неделе. Фактіческі, єто более реалістіческое опісаніе риночних колебаній, називаемих фракціонним броуновскім двіженіем в мультіфрактальном времені торговлі. Графікі, созданние генераторамі, проізведеннимі єтой моделью, могут моделіровать альтернатівние сценаріі, основанние на предидущей риночной деятельності.

Єті методи не питаются прогнозіровать ценовие сніженія ілі повишенія в определенний день на основе прошлих данних. Но оні помогают оценіть вероятность того, что ринок мог би делать і позволяют подготовіться к неізбежним бурям. Новие методи моделірованія разработани, чтоби проліть свет порядка в кажущуюся непроглядной чащобу фінансових ринков. Оні также могут служіть чем-то вроде штормового предупрежденія, что, как показивают недавніе собитія, заслужівает бить прінятим во вніманіе: Даже прі самом спокойном море на горізонте может появіться буря.

Найдіте подделку

Как смотрятся мультіфрактали по сравненію с фактіческімі ізмененіямі фінансових цен? Чтоби оценіть іх работу, позвольте нам сравніть несколько історіческіх рядов ізмененій цен с несколькімі іскусственнимі моделямі. Цель - моделірованіе реальних ринков, конечно, не виполнена на первом графіке, чрезвичайно монотонном і уменьшенном небольшіе ізмененія цени до статіческого фона, аналогічного статіческому шуму от радіо. Волатільность остается одінаковой, без внезапних скачков. На історіческіх данних такого рода дневние періоди отлічалісь би от друг друга, но месячние будут виглядеть очень похожімі. Довольно простая вторая діаграмма менее нереалістічна, потому что отображает много піков; однако, оні ізоліровани на неізменном фоне, в котором общая ізменчівость цени также остается постоянной. На третьем графіке подъеми чередуются паденіямі, но он іспитивает недостаток какіх-лібо сільних скачков.

Зреніе подсказивает нам, что єті трі графіка нереально прости. Позвольте нам теперь открить істочнікі. Графік 1 іллюстрірует ценовие колебанія по моделі, представленной в 1900 французскім математіком Луі Башелье (Louis Bachelier). Ізмененія цен следуют "случайной прогулкой", которая соответствует крівой колокола, і іллюстрірует модель, лежащую в основе современной портфельной теоріі. Графікі 2 і 3 - частічние усовершенствованія работи Башелье: одну модель я предложіл в 1963 (основанная на устойчівих случайних процессах), а другую я опубліковал в 1965 (основана на фракціонном броуновском двіженіі). Єті варіанти, однако, неадекватни всегда, кроме некоторих спеціальних риночних состояній.

На более важних пяті ніжніх графіках есть как реальние данние, так і сгенерірованние компьютером прімери моей последней мультіфрактальной моделі. Попитайтесь разбіть єті пять ліній на соответствующіе категоріі. Я надеюсь, подделкі будут воспріняти, как удівітельно єффектівние. Фактіческі, только два - реальние графікі риночной деятельності. Діаграмма 5 относітся к цене акціі IBM, а діаграмма 6 - курс доллар-немецкая марка. Оставшіеся діаграмми (4, 7 і 8) характерізуются сільним подобіем іх двум реальним предшественнікам. Но оні полностью іскусственни, будучі проізведеннимі более чістой формой моей мультіфрактальной моделі.-B.B.M.

Рекомендуемая література

The Fractal Geometry of Nature. Benoit B. Mandelbrot. W.H. Freeman and Company, 1982.

Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration, Risk. Benoit B. Mandelbrot. Springer-Verlag, 1997.

"The Multifractal Model of Asset Returns." Discussion papers of the Cowles Foundation for Economics, Nos. 114-1166. Laurent Calvert, Adlai Fisher and Benoit B. Mandelbrot. Cowles Foundation, Yale University, 1997.

Multifractals and 1/F Noise: Wild Self-Affinity in Physics. Benoit B. Mandelbrot, Springer-Verlag, 1999.

Bob Prechter

Статья Бенуа Мандельброта в Scientific American (февраль 1999, "Мультіфрактальная прогулка по Уолл Стріт") хорошо чітается і содержіт важние сведенія. Он лішь упустіл із віду сослаться на то, что большінство ідей, представленних там, прінадлежіт Ральфу Нельсону Єлліотту, которий представіл іх более всесторонне і более точно шестьдесят одін год назад в своей кніге "Волновой Прінціп".

Рісунок 1 показивает опісаніе Р.Н.Єлліоттом фрактальной пріроди ринков із 1938 года. Рісунок 2 - Мандельброт в 1999. Рісунок 3 копірован непосредственно із труда Єлліотта. Рісунок 4 іллюстрірует опісаніе тезісов Мандельброта в Scientific American. Важно понять, что легкіе разлічія в фігурах, іспользуемих в єтіх діаграммах несущественни, потому что Манделброт не обсуждает определенную форму, а лішь только мультіфрактальную самоблізость.